GIS och fraktaler

    av Gustaf Nelhans

     

    Innehåll:

    Angående denna websida
    Introduktion
    Historisk bakgrund
    Euklides geometri - Fraktal geometri
    Kaosteori
    Några exempel på användning av fraktaler i GIS
    Slutsats
    Litteratur
     

    Angående denna websida

    Detta arbete utgör en litteraturuppgift inom kursen GIS och kartografi 10 p, hösten 1997, vid Göteborgs Universitet, Institutionen för Geovetenskap, avdelning Naturgeografi. Innehållet får gärna citeras, om referensen anges.

    Introduktion

    Fraktaler är den grafiska representationen av vissa typer av matematiska formler som genererats ur kaosteorin. Deras främsta kännetecken är att de repeterar sig själv i all oändlighet vid förstoring. Den mest kända typen av fraktalbilder, mandelbrotmängden (fig 3) är det mest komplexa objektet i matematiken. Samtidigt krävs det inte mer än ett par dussin teckens programkod för att skapa en komplett visualisering av den (Gleick, 1987). Den komplexitet som fraktaler uppvisar har också likhet med naturens komplexitet, vilket gör fraktaler till ett intressant verktyg att beskriva naturen med.

    Historisk bakgrund

    En historisk bakgrund till utvecklandet av kaosteorin och dess visuella uttolkning, fraktaler, går tillbaka till mitten av 1800-talet. Matematiken stod vid skiljevägar, eftersom man funnit matematiska funktioner som inte kunde förklaras. Man hittade ekvationer som kunde beskriva kurvor som inte hade en enda tangent vid någon punkt på kurvan. Man hittade också kurvor som när man förstorade dem blev till ett gytter av punkter. Man lyckades också beskriva en kurva som om man drog ut den kunde täcka alla punkter i en yta. Detta beteende kallades patologiskt beteende. (Patologisk=sjuklig, abnorm).
        Så småningom fick man användning för denna matematik och det blev grunden till bl a modernt ekonomiskt tänkande (t ex spelteori), kvantfysik, såväl som astronomi (makrofysik)
        Vad som hade upptäckts var konceptet om icke-integral dimensionalitet, en egenskap hos ett objekt att befinna sig emellan den första, andra, tredje, fjärde, osv dimensionen (Allen, 1997).
     

    Euklides geometri - Fraktal geometri

    Inom den vanliga geometrin arbetar vi med punkter, linjer, ytor och volymer vilka kan beskrivas i respektive dimensionen 0, 1, 2 och 3, (samt eventuellt med tiden som den fjärde dimensionen) vilka alla är tal av typen integer, heltal. Dessa dimensioner representerar antalet koordinater vi behöver för att beskriva en punkt på de olika formerna. En punkt bestäms på en linje med två koordinater, alltså har linjen 2 dimensioner. I fraktal geometri arbetar vi på samma sätt med punkter, linjer, ytor och volymer, men här begränsar vi oss inte till att använda heltal för benämning av dimensionerna utan använder typen real, decimaltal. Den fraktala dimensionen beskriver inte bara av vilken dimensionsordning en form utgörs, den beskriver också formens komplexitet (fig 1) (Klinkenberg, 1997):
     
     

        En rät linje har den fraktala dimensionen 1
        En kurvig linje har den fraktala dimensionen >1
        En linje (kurva) som helt och hållet täcker en yta har den fraktala dimensionen 2
        En yta kan på samma sätt ha en fraktal dimension om 2-3.

     

    Kaosteori

    Kaos är en teori som framlades av Lorenz, en meteorolog som ville utveckla en fullskalig modell över hur vädret fungerar. Han kom fram till att det var omöjligt att finna, eller att beräkna alla de möjliga faktorer som medverkar till hur klimatologin fungerar. Han upptäckte också att väldigt små skillnader i input snabbt kunde ge överväldigade effekter i output. Detta kallas "fjärilseffekten" (Gleick, 1987). Ett enkelt exempel är att man tänker sig en fjäril som flaxar med vingarna i Peking vilket ger upphov till en orkan i New York.
        1958 kom en polsk matematiker vid namn Mandelbrot i kontakt med kaosteori. Han föredrog att tolka sina problem visuellt och det är hans geometriska bilder av kaos som gett upphov till fraktaler. Han publicerade en artikel för att illustrera dessa koncept som heter "How long is the coastline of Britain?" Där beskrev han de "självrepeterande" bilderna i högre och högra detaljrikedom.
        Han förklarade också att genom förstora skalan man mäter i kommer svaret på kustlinjens längd att öka.
     

    Fraktal dimension och självrepresentation

    Syftet med GIS är att beskriva rumsliga, spatiala former. Dessa former anges genom att man beskriver dem i ett system, t ex kartor, en tvådimensionellt yta. Vid mätningar på en karta (såväl som inför att rita en karta), är ett av de första problemen man stöter på att mätningen är beroende av skalan, den är skalberoende. Detta kommer till uttryck i det att om du mäter en linjes längd i större allt skala, (eller med ett exaktare instrument) kommer linjens längd att öka med ökningen av skala (fig 2). Detta förhållande (skalan som används/uppmätt längd) kan beräknas och plottas i en sk Richardson-plot. Linjens fraktala dimension skulle (enligt min mening) kunna beskriva detta förhållande.
        Det finns flera metoder för att bestämma fraktal dimension. (Detta beror på att vi har att göra med kaosteori och att vi i grunden arbetar med statistik, vilket gör att vi endast kan nå sannolika svar.) Klinkenberg (1997) ger ett exempel:
     
    • stega upp sträckan mellan två punkter (steglängden s1) på en oregelbunden linje; resultatet blir n1 steg. Längden på sträckan=s1n1.
    • Gör om processen, men ändra steglängden till s2; det krävs nu n2 steg att gå mellan de båda punkterna. Sträckans längd är nu s2n2.
    • Den fraktala dimensionen beräknas nu enligt formeln:
     

        Den fraktala dimensionen beskriver alltså hur oregelbunden linjen är. Ju kurvigare linje, desto större skillnad mellan de båda mätningarna och därmed också högre fraktal dimension. En grafisk metod att beskriva fraktal dimension anges i Arlinghaus (1997).

        En annan egenskap hos fraktaler går under benämningen self-similarity (min övers: självrepresentation). Självrepresentation innebär att någon aspekt hos ett fenomen eller process är oföränderligt vid förändring av skalan (Klinkenberg, 1997), (fig 2). Den enklaste metoden att bestämma om en företeelse är "självrepresenterande" är visuell. Om man genom att förstora ett bild av ett objekt kan se en ny form som är omöjlig att skilja från originalformen, kan objektet sägas vara självrepresenterande. Detta är fallet med många (alla?) fraktalbilder, t ex den sk mandelbrotmängden (fig 3), men även naturliga fenomen kan beskrivas som självrepresenterande. (Jag drar mig till minnes att vi på G1 en gång stod framför en vägskärning och studerade veckning i gnejs. Lennart Björklund förklarade då att samma form som kunde ses i veckningen i skärningen även kunde ses småskaligt i mineralkornens sammansättning, såväl som storskaligt i stormorfologin.) Klinkenberg anger också att det finns många naturliga former som uppvisar självrepresentation, även om många (sic!) former har påverkats antropogent, geologiskt eller geomorfologiskt. Hans benämning av dessa icke helt självrepresenterade former är self-affine (självliknande).

     

    Några exempel på användning av fraktaler i GIS

    Fraktaler har i några fall använts för att beskriva landformer och deras utsträckning. Arlinghaus och Nystuen (199?) har använt fraktaler för att skapa en karta över en kortare kuststräcka, samt för ett hypotetiskt grönområde. Ett annat exempel är "The fractal realizer", ett datorprogram som med hjälp av fraktaler skapar en faksimil av en verklig karta (fig 4).
     
        Programmet utgår från en rasterbild där 20% av originalkartan är representerad. Programmet beräknar sedan det sannolika landskapet med hjälp av fraktaler och avbildar detta som en syntetisk karta. Programmet har svårt att avbilda linjära former och former inuti en annan kategori på ett korrekt sätt och dess bilder kan ofta urskiljas genom att det är något mer fragmenterat. The fractal realizer har genomgått ett test där fyrtio experter på karttolkning vid olika universitet har fått avgöra vilken bild i ett bildpar som är den äkta kartbilden. 20 bilder har visats enligt fig 4 och deras genomsnittliga resultat var endast 55% rätt, alltså marginellt bättre än slumpen.
     

    Slutsats

    Fraktaler och deras förmåga till självrepresentation gör att man vinner datorutrymme, då man genom att välja fraktaler som liknar de verkliga former man studerar kan komprimera datamängden som behövs för att beskriva formerna. Fraktalers skaloberoende gör också att man kan få en detaljrikedom som omöjligt kan genereras genom rasterrepresentation. Rasterbildens storlek avgörs av dess utsträckning i två dimensioner, såväl som av dess pixelupplösning, vilket ger att ju större skala man anger desto större storlek får datafilen. Ett annat problem som påverkar rasterbildens reliabilitet är att begränsningslinjer som i verkligheten korsar inom en rasterpunkt måste representeras som hela rasterpunkten. Detta ger exempelvis stora fel vid beräkning av area för ett område. Dessutom ökar felet ju mindre området man beräknar arean på är. En av de främsta vinsterna med att använda fraktaler är att skapa ett mer naturligt uttryck för kartbilder som i dag med datorns hjälp blivit alltmer "blocklika"
        Fraktaler är en form av statistisk beräkning och är alltså behäftad med en viss sannolikhet. Detta gör att vad fraktalen vinner på att vara skaloberoende och självrepresenterad förlorar den på att den har en viss sannolikhet. Man kan kanske krasst säga att man bara byter ut ett problem med ett annat. Dock är detta inte skäl att avfärda dess användbarhet, samtidigt som det är ett skäl att inte fullständigt förlita sig på dess utvecklingsmöjligheter för en komplett avbildning av naturen, ett problem som delas med den logiska empirismens sökande efter den förenande grundteorin (Nelhans, 1997)
     

    Litteratur

    Allen, S. (1997) Fractals and GIS, Internet: numera död länk.

    Arlinghaus, S. L. (1997): Fractal geometry course notes, Internet: http://www.snre.umich.edu(~sarhaus/501/Fractal2.htm.

    Arlinghaus, S. L. & Nystuen, J. D. (199?): Geometry of boundary exchanges, The
    geographical review.

    Gleick, J. (1987): Chaos Making a new science, Abacus, London

    Klinkenberg, B. (1997): Unit 47 - Fractals, Internet:
    http://www.geog.ubc.ca/courses/klink/gisnotes/ncgia/toc.html.

    Nelhans, G. (1997): Vad är geomorfologi? -En litteraturstudie över ämnets teoribildning
    och vetenskapliga utveckling. Projektarbete 5 p i geovetenskap, Göteborgs universitet.

    The Fractal realizer (1997): Internet: http://www.esd.ornl.gov/realizer/.

     
     
    Denna sida är finns refererad i:

    © Gustaf Nelhans
    Senast ändrad: 980607


    Åter hemsidan